ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 4

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අපට ප්‍රස්ථාරගත කළ හැකිය. කෝණය ස්වායත්ත විචල්‍යය ලෙස ගෙන හා එම කෝණයේ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතය පරායත්ත විචල්‍යය ලෙස ගෙන මෙම ප්‍රස්ථාරය ඇඳිය හැකිය. මේ සඳහා අනුපාතවලට අදාල වගු භාවිතා කිරීමට සිදුවෙනවා.

සයින් ප්‍රස්ථාරය (sine graph)

උදාහරණයක් ලෙස අපි සයින් ප්‍රස්ථාරය අඳිමු. ඇත්තටම වගුවක කලාවෙන් කලාවට සයින් අනුපාත අගය දක්වන නිසා, එච්චර විශාල අගයන් ප්‍රමාණයක් සටහන් කරමින් ප්‍රස්ථාරය ඇඳීමට ගියොත් දවසක් පමණ ගත වේවි ප්‍රස්ථාරය ඇඳ නිම කිරීමට. එනිසා පහසුව තකා අංශක 0 සිට 360 දක්වා අංශක 15න් 15ට අගයන් 24ක් පමණක් සයින් වගුවෙන් උපුටා ගෙන ප්‍රස්ථාරය අඳිමු. එම අගයන් පහත දැක්වේ.

කෝණය	අනුපාත අගය	කෝණය	අනුපාත අගය	කෝණය	අනුපාත අගය
0/360	0.0000	120	0.8660	240	-0.8660
15	0.2588	135	0.7071	255	-0.9659
30	0.5000	150	0.5000	270	-1.0000
45	0.7071	165	0.2588	285	−0.9659
60	0.8660	180	0.0000	300	−0.8660
75	0.9659	195	−0.2588	315	−0.7071
90	1.0000	210	−0.5000	330	−0.5000
105	0.9659	225	-0.7071	345	−0.2588

දැන් ඉහත වගුවෙන් කෝණය දක්වන තීරුවල අගයන් x අක්ෂයේ තිබෙන සේ හා අනුපාත අගය තීරුවල තිබෙන අගයන් y අක්ෂයේ තිබෙන සේ පහත ආකාරයට ප්‍රස්ථාරය අඳින්න.

 

ඉහත ප්‍රස්ථාරය ඔබ ඉතාම දැක පුරුදු හැඩයක් නේද? විද්‍යාවේදී හා තාක්ෂණයේදී තරංග (wave) ඇඳ පෙන්වන්නෙත් මෙම හැඩයෙන්. තරංග යනු විද්‍යාවේදී භාවිතා වන යම් ආකෘතියකි. එහෙත් ඉහත දැක්වෙන්නේ සයින් යන ශ්‍රිතය (function) ප්‍රස්ථාර ගත කළ විට පෙනෙන අයුරුය.

මතකයට

ශ්‍රිතයක් යනු යම් රාශින් දෙකක් හෝ කිහිපයක් අතර තිබෙන ගණිතමය සම්බන්ධතාවකි. විවිධාකාරයේ ශ්‍රිත ඇත. බහුලව දක්නට ලැබෙන ශ්‍රිත වන්නේ f(x) ආකාරයට ලියා දක්වන ශ්‍රිතයි; එනම් එක් රාශියක් මත තවත් රාශියක් වෙනස්වන්නේ කෙසේද යන්න පෙන්වන ශ්‍රිතයි. තවත් ආකාරයක ශ්‍රිතයක් f(x,y) ලෙස ලිවිය හැකියි. ඉන් කියන්නේ එකිනෙකට ස්වාධීන රාශින් දෙකක් එකවරම විචලනය වන විට තවත් රාශියක් වෙනස් වීමයි. මේ ආකාරයට ස්වාධීනව වෙනස් වන රාශින් 4ක් ඇත් නම් එය f(a,b,c,d) ආදී ලෙස ලිවිය හැකියි. මෙහිදී වරහන තුළ x ලෙස පොදුවේ දක්වන්නේ ස්වාධීනව හෙවත් ස්වායත්තව විචලනය වන රාශියයි (ස්වායත්ත විචල්‍යය - independent variable). එම රාශිය වෙනස් වීගෙන යන විට, තවත් රාශියක් ඊට අනුරූපව වෙනස් වේ (පරායත්ත විචල්‍යය - dependent variable). එම රාශිය තමයි පොදුවේ f(x) ලෙස දක්වා තිබෙන්නේ.

ඇත්තටම ශ්‍රිතයක් නිරූපණය කරන විට, f අකුරෙහි හෝ x අකුරෙහි වැදගත්කමක් නැත. අවශ්‍ය නම් g(x), t(s), abc(time) ලෙසද මෙම ශ්‍රිත නිරූපණය කරන්නට හැකියි. වරහන තුල දක්වා තිබෙන x, s, time වැනි විචල්‍යය වෙනස් කරන විට, g(x), abc(time) වැනි පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස්වීම ඉන් ගම්‍ය වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, f(x) = 2x² ලෙස දී ඇති ශ්‍රිතයක් සලකන්න. මෙහි ස්වායත්ත විචල්‍යය x වන අතර, එයට සුදුසු අගයන් ඔබට දිය හැකියි. එම අගය ආදේශ කර ප්‍රකාශය සුලු කළ විට යම් පිළිතුරක් ලැබේ. එය තමයි පරායත්ත විචල්‍යය වන f(x) හි අගය. මෙලෙස x සඳහා විවිධ සුදුසු අගයන් ආදේශ කරමින් f(x) අගයන් සෙවිය හැකියි. අවශ්‍ය නම්, එය වගුවක් ආකාරයෙන් පිළියෙල කළ හැකියි පහත ආකාරයට.

x	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	8	2	0	2	8	18

ඉන්පසු x අනුව f(x) විචලනය වන හැටි තවදුරටත් පහසුවෙන් අවබෝධ කර ගැනීමට චිත්‍රමය ස්වරූපයකට ඉහත වගුව හැරවිය හැකියි. එය තමයි ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාරගත කරනවා යැයි පවසන්නේ. මෙවිට කාටිසියානු තලයක x අක්ෂය දිගේ ස්වායත්ත විචල්‍යයද, y අක්ෂය දිගේ පරායත්ත විචල්‍යයද ලකුණු කෙරේ. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ එලෙස සකස් කළ ප්‍රස්ථාරයයි.

අංශක 0 සිට 360 දක්වා කෝණ පරාසය තුළයි ඉහත සයින් ප්‍රස්ථාරය ඇඳ තිබෙන්නේ. අවශ්‍ය නම් 360 ඉක්මවාද ප්‍රස්ථාරය ඇඳිය හැකියි. එවිට මෙම මූලික හැඩයමයි නැවත නැවත මතු වෙන්නේ සෑම අංශක 360කට වරක්ම.

එකම හැඩය සමාන පරතරවලින් නැවත නැවත මතු වන මෙවැනි ප්‍රස්ථාර ආවර්තික ප්‍රස්ථාර (periodic graph) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඇත්තටම සයින් පමණක් නොව, සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සඳහා අඳින ප්‍රස්ථාර ආවර්තික ප්‍රස්ථාර වේ (ඊට හේතුවත් සරලයි; ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ස්වායත්ත විචල්‍යය යනු නැවත නැවත එකම මාර්ගය දිගේ යන කෝණයකි).

 

කොස් ප්‍රස්ථාරය (cos graph)

දැන් ඉහත සයින් ප්‍රස්ථාරය ඇන්ද විදියටම කොස් ප්‍රස්ථාරයද ඇඳිය හැකියි (පහත රූපය).

බැලූ බැල්මට මෙය හැඩයෙන් සයින් ප්‍රස්ථාරයට සමානයි නේද? ඔව්. එකම වෙනස කොස් ප්‍රස්ථාරය සයින් ප්‍රස්ථාරයට වඩා අංශක 90ක් වමට ගමන් කර ඇත. පහත රූපයේ සයින් හා කොස් ප්‍රස්ථාර දෙකම එකට ඇඳ ඇත මෙම සමීපතාව පැහැදිලිව පෙනීම සඳහා.

සයින් හා කොස් අතර ඉහත සම්බන්ධතාව ගණිතමය සූත්‍රයකට පරිවර්තනය කළ හැකියි පහත ආකාරයට (මෙම සම්බන්ධතාව කටපාඩමින් දත යුතුය).

sin(x) = cos(90-x) හෝ cos(x) = sin(90-x)

ඒ අනුව සයින් හා කොස් අනුපාත දෙක අනුපූරක (complement) අනුපාත ලෙස හැඳින්වෙනවා.

මතකයට

කෝණ ආශ්‍රිතව යම් ඒකක දෙකක් අනුපූරක යැයි පවසන විට ඊට නිශ්චිත තේරුමක් ඇත. එහි තේරුම රාශි දෙකෙහිම කෝණ එකතු කළ විට මුලු අංශක ගණන 90 වන බවයි. ඉහත කොස් හා සයින් අනුපාත අනුපූරක යැයි පැවසුවෙත් මේ හේතුව නිසාය.

එලෙසම කෝණ ආශ්‍රිතව පරිපූරක (supplement) යන වචනයක්ද භාවිතා වෙනවා. එහිදී යම් කෝණ දෙකක් එකතුව හැමවිටම අංශක 180ක් ලැබෙන්නේ නම් එම කෝණ දෙක පරිපූරක යැයි කියනවා.

ටෑන් ප්‍රස්ථාරය (tan graph)

පහත රූපයේ ඇත්තේ ටෑන් අනුපාතයට අදාල ප්‍රස්ථාරයයි. මෙම ප්‍රස්ථාරයේ විශේෂත්වයක් තිබෙනවා. එනම් අංශක 90, 270 වැනි කෝණවලදී අනුපාත අගය අනන්තය කරා යනවා. අනන්තය යනු කිසිසේත් ඇඳ පෙන්විය හැකි අගයක් නොවේ. මෙවන් විට, ප්‍රස්ථාර ඇඳිමේදී යම් උපක්‍රමයක් භාවිතා කරනවා. අනන්තය ඇඳ දැක්විය යුතු තැන සිරස් රේඛා අඳිනවා. එම රේඛා ස්පර්ශෝන්මුඛ (asymptote) නම් වේ. එමනිසා පහත රූපයේ අනන්තය පෙන්වන ස්ථානවල ස්පර්ශෝන්මුඛ ඇඳ තිබෙනවා නිල් පාට කඩ ඉරිවලින්.

මතකයට

ස්පර්ශෝන්මුඛයක් යනු ප්‍රස්ථාරවලදී යොදා ගන්නා යම් උපක්‍රමයක් සේම ගණිත සංකල්පයකි. අනන්තය කිසිසේත් අගයක් ලෙස දැක්විය නොහැකියිනෙ. ඉතිං අගයක් සේ දැක්විය නොහැකියි නම්, අගයක් නැති දෙයක් ප්‍රස්ථාරගත කළ නොහැකියි. එසේ වුවද, අගය කුමක් වුවත් අනන්තය යනු සිතාගත නොහැකි තරම් විශාල සංඛ්‍යාවකි.

එවිට ස්පර්ශෝන්මුඛයක් ප්‍රස්ථාරයක සරල රේඛා ආකාරයෙන් ඇන්ද විට, ඉන් කියවෙන්නේ ප්‍රස්ථාරයේ යම් සීමාවකි. උදාහරණයක් ලෙස, ස්පර්ශෝන්මුඛයට වම් පසින් යම් ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳගෙන එන විට, එම වක්‍රය කිසිවිටක ස්පර්ශෝන්මුඛයෙන් දකුණු පසට අඛණ්ඩව ඇඳිය නොහැකිය. හරියට ස්පර්ශෝන්මුඛයක් යනු ඔබ යන පාර මැද තිබෙන කිසිසේත් තරණය කළ නොහැකි තරම් උස කන්දක් බඳුයි. ඉතිං අනිවාර්යෙන්ම ප්‍රස්ථාරය ස්පර්ශෝන්මුඛය විසින් ඛණ්ඩනය කරනවා.

ඒ විතරක්ද නොවේ; ප්‍රස්ථාර වක්‍රය ඉතාම ඉතාම සීඝ්‍රයෙන් ස්පර්ශෝන්මුඛයට ළං වෙනවා (එනම් ස්පර්ශෝන්මුඛයට ළං වන්නට වන්නට ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ බෑවුම ඉතා සීඝ්‍රයෙන් වැඩි වෙනවා). එහෙත් කිසිම විටක ප්‍රස්ථාරය ස්පර්ශෝන්මුඛයට ස්පර්ශ වන්නේ නැත. ප්‍රස්ථාර වක්‍රය ස්පර්ශෝන්මුඛය ස්පර්ශ කරන්නේ අනන්තයේදී යැයි පවසනවා.

ටෑන් වක්‍රය අඛණ්ඩව ඇඳිය නොහැකි එකක් වුවත්, එහි යම් හැඩයක් නැවත නැවත පෙනෙන නිසා එයද ආවර්තික ප්‍රස්ථාරයකි. සයින්, හා කොස් වල උපරිම අගය හැමවිටම 1ද අවම අගය -1ද වූවා. එනම් එම ප්‍රස්ථාර දෙක දෝලනය වූයේ 1ත් -1ත් අතරයි. එහෙත් ටෑන් ප්‍රස්ථාරයේ උපරිම අගය ධන අනන්තය වන අතර අවම අගය ඍණ අනන්තයයි.

තවද ඉහත ස්පර්ශෝන්මුඛ විස්තරය අනුව ටෑන් අගය ඉතා සීඝ්‍රයෙන් ඉහල යනවා කෝණය ස්පර්ශෝන්මුඛයට ළං වන්නට වන්නට. උදාහරණයක් ලෙස, කෝණය 0 අසලදී එක් අංශකයකින් ඉහල යන විට (එනම් කෝණය අංශක 0 සිට 1ට යන විට) ටෑන් අනුපාතය 0.0175ක් තරම් කුඩා අගයකින් තමයි වෙනස් වන්නේ. එහෙත් 90 කෝණය අසලදී කෝණය කලා 1කින් වැඩි වන විටත් ටෑන් අගය දහස් හෝ කෝටි ගණනකින් වෙනස් වෙනවා. ස්පර්ශෝන්මුඛයට ළං වන විට අගය සීඝ්‍රයෙන් වැඩි වෙනවා යනු එයයි.

කොසෙක් ප්‍රස්ථාරය

මෙම ප්‍රස්ථාරය ඉහත ප්‍රස්ථාර 3 ඇන්ද ක්‍රමයටම ඇඳිය හැකියි. එනම් කොසෙක් වගුවකින් ලබා ගත් දත්ත ප්‍රස්ථාරගත කළ විට ලස්සනට මෙම ප්‍රස්ථාරය ඇඳිය හැකියි. මීට අමතරව සයින් ප්‍රස්ථාරය ආශ්‍රයෙන්ද මෙම ප්‍රස්ථාරය පහසුවෙන් ඇඳිය හැකියි. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ එසේ සයින් ප්‍රස්ථාරය ඇසුරින් මෙය අඳිනා ආකාරයයි.

කොසෙක් = 1/සයින් වේ. එනිසා සයින් ප්‍රස්ථාරයේ සයින් අගය 0 වන ස්ථානවලදී කොසෙක් අගය අනන්තය කරා යයි. ඒ කියන්නේ සයින් වක්‍රයේ සයින් අගය 0 වන තැන්වලදී තමයි කොසෙක් ප්‍රස්ථාරයේ ස්පර්ශෝන්මුඛ ඇඳීමට සිදු වන්නේ. ඉන්පසු ස්පර්ශෝන්මුඛ දෙකක් අතර සයින් ප්‍රස්ථාර හැඩයට අනුරූපව ඉහත රූපයේ පෙන්වා ඇති ආකාරයට ප්‍රස්ථාර ඛණ්ඩ අඳින්න. එවිට ලැබෙන්නේ කොසෙක් ප්‍රස්ථාරයයි. මෙහි "අනුරූපව" යනුවෙන් ගම්‍ය වන්නේ සයින් අගය අඩු වේගෙන යන විට කොසෙක් අගය වැඩිවේගන යන පරිදි ඇඳීමයි.

සෙක් හා කොට් ප්‍රස්ථාර

මෙම ප්‍රස්ථාරද කොසෙක් ප්‍රස්ථාරයෙහිදී කියූ ලෙසම දෙයාකාරයෙන්ම ඇඳිය හැකියි. එහෙත් කොස් හා ටෑන් ප්‍රස්ථාර දෙක ඇසුරින් ඇඳීමයි පහසු. පහත දැක්වෙන්නේ සෙක් හා කොට් ප්‍රස්ථාර දෙකයි. කෝණ දක්වා ඇත්තේ රේඩියන් නම් ඒකකයෙනි.

 

රේඩියන්

කෝණ මැනීමට අංශකය (කලා හා විකලාද ඇතුලත්ව) නම් ඒකකය අප භාවිතා කරනවා. එහෙත් කෝණ මනින සම්මත ඒකකය හෙවත් SI ඒකකය අංශකය නොවේ. සම්මත ඒකකය වන්නේ රේඩියන් (radian) ය.

අංශකය යන ඒකකය අපේ කැමැත්ත හෙවත් අභිමතය පරිදි "ඔහේ" නිර්වචනය කළ ඒකකයකි. යම් ලක්ෂ්‍යයක් වටා අංශක 360ක් පවතියි යනුවෙන් අප විසින් අර්ථ දක්වා තිබෙනවා (මෙය "අප විසින්" කළා කිව්වත් වසර දහස් ගණනකට පෙර සිටි අය විසිනුයි එසේ කර තිබෙන්නේ). ඔවුන් එදා කිව්වා නම් ලක්ෂ්‍යයක් වටා අංශක 1000ක් තිබෙනවා කියලා අද අප ඉගෙන ගන්නේද ලක්ෂ්‍යයක් වටා අංශක 1000ක් තිබෙනවා යැයි කියාය. එහෙම නැතිව ලක්ෂ්‍යයක් වටා අංශක 360ක් තිබේය යන්නට වෙනත් විද්‍යාත්මක හේතුවක් නැත.

එහෙත් රේඩියන් යන ඒකකය නිර්මාණය කර තිබෙන්නේ එවැනි අහඹු අභිමත ආකාරයකින් නොවේ. ඕනෑම වෘත්තයක් සලකන්න. එම වෘත්තයේ අරයක් පවතිනවනෙ. ඉතිං මෙම අරයට සමාන දිගක් එම වෘත්තයේම පරිධිය ඔස්සේ ලකුණු කරගත් විට, එම කොටසින් එම වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණය රේඩියන් 1ක් යැයි අර්ථ දක්වා ඇත.

 

“යම් වෘත්තයක අරයට සමාන දිගක් පරිධියේ ලකුණු කළ විට, ඉන් කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණය රේඩියන් එකකි.”

රේඩියන් නම් ඒකකයේ කුඩා කොටස්වලට කලා, විකලා වැනි විශේෂිත නම් යොදන්නේ නැත. නිකංම දශම ස්වරූපයෙන් එය පැවසිය යුතුයි (රේඩියන් පමණක් නොව, SI ඒකක සියල්ලෙහිම කුඩා ඒකකයන් දශමාකාරයෙන් තමයි දක්වන්නේ). ඒ අනුව රේඩියන්වලින් කෝණ 0.001, 3.245 ආදී ලෙස ඔබට නිතර දක්නට ලැබේවි.

විද්‍යාවේ ආරම්භයේදී බොහෝ දේවල් මැනීමට බොහෝ ඒකක නිර්මාණය කර ගත්තා. ඒ ඒකක සියල්ලම පාහේ "ඔහේ" තමන්ට කැමති විදියට සාදාගත් ඒකකයන්ය. යම් දිග දණ්ඩක් ගෙන එය "අඩිය" ලෙසද, යම් ලෝහ කුට්ටියක බරක් ගෙන එය "රාත්තලක්" ලෙස, යම් කෝණයක් ගෙන එය "අංශකයක්" ලෙස විවිධ ඒකක නිර්මාණය කළා. සන්නිවේදනය නොදියුණු නිසා, විවිධ රටවල සිටි විවිධ විද්‍යාඥයන් එලෙස එකම දේ මැනීමට විවිධ ඒකක බිහි කර ගත්තා. එකම රාශිය මැනීමට අදත් විවිධ ඒකක පවතින්නට හේතුව එයයි. එහෙත් විද්‍යාව දියුණුවත්ම විවිධ අය විවිධ ඒකක භාවිතා කිරීම අවම කිරීමට මුලු ලෝකයම එකම ඒකක පද්ධතියක් භාවිතා කළ යුතු යැයි සම්මත කර ගත්තා. අද SI ඒකක ලෙස හැඳින්වෙන්නේ මෙම ඒකකයි.

මෙලෙස සම්මත ඒකක සාදා ගන්නා විට තවත් ප්‍රවණතාවක් මතු වූවා. එය නම්, ඒකක නිකංම අභිමතය පරිදි නිර්වචනය කරනවා වෙනුවට යම් විද්‍යාත්මක හෝ විශ්වීය ගතිගුණයක් පදනම් කරගෙන ඒවා නිර්වචනය කිරීමට උත්සහ කළා. උදාහරණයක් ලෙස, දුර මැනීමට යොදා ගන්නා "මීටරය" නම් ඒකකය විශ්වීය ගතිගුණයක් වන ආලෝකයේ වේගයට සම්බන්ධ කොටයි දැන් නිර්වචනය කර තිබෙන්නේ. එලෙසම රේඩියන් යන්නද ඉහත පෙන්වා දුන් ආකාරයට වෘත්තයක් ආශ්‍රයෙන් නිර්වචනය කර ඇත. මෙලෙස නිර්වචනය කිරීමෙහි ඇති වැදගත්කම සොයා බලන්න (විශාල වැදගත්කමක් ඇත).

දැන් යම් ලක්ෂ්‍යයක් වටා පවතින සම්පූර්ණ කෝණය රේඩියන්වලින් බලමු. ඔබ දන්නවා ඕනෑම වෘත්තයක පරිධිය එහි විශ්කම්භයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ යම් නියත අගයකි (constant). එම නියතය හැබැයි අනන්ත දශමයකි (එනම් පරිමේය සංඛ්‍යාවක් නොවේ). එහෙත් අප එදිනෙදා කරන සාමාන්‍ය ගණනය කිරීම්වලට එම අගය 3.1416 ලෙස දළ අගයන් වශයෙන් ගත හැකියි (දශමස්ථාන 4කට එය නිවැරදිය). මෙයම තමයි 22/7 ලෙස ලියන්නෙත් (දශමස්ථාන 2කට මෙය නිවැරදිය). දශමස්ථාන 6කට නිවැරදිව මෙම අගය පහසුවෙන් දැක්විය හැකියි 355/113 යන භාගය ලෙස ලිවීමෙන් (මෙය පහසුවෙන් මතක සිටිනවා මොකද 1, 3, 5 යන ඉලක්කම් තමයි දෙපාර බැගින් ලියා තිබෙන්නේ).

දශමස්ථාන කීයකට නිවැරදිව මෙම අගය දැක්විය යුතුදැයි තීරණය කරන්නේ ඔබයි. මෙම නියතය ∏ (පයි) යන ග්‍රීක් අකුරින් සංඛේතවත් කරනවා. මෙම අකුර ශබ්ද කළ යුත්තේ "පයි" කියා මිසක් "ෆයි" කියා නොවේ මොකද "ෆයි" යනු තවත් ග්‍රීක් අකුරකි (ϕ).

ඉහත පයි නියතය ඔස්සේ දැන් අපට හැකියි ලක්ෂ්‍යයක් වටා තිබෙන මුලු කෝණයේ විශාලත්වය සොයන්නට. පරිධිය/විශ්කම්භය = ∏ වේ. විශ්කම්භය = 2(අරය) නිසා, පරිධිය/(2අරය) = ∏ වේ. එවිට

පරිධිය = 2.∏.අරය (C = 2∏R)

අරය හෙවත් R තරම් දිගු පරිධියේ කොටසකින් කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණය රේඩියන් එකකි. එවිට 2∏R නම් පරිධියේ කොටසකින් හෙවත් සම්පූර්ණ පරිධියෙන්ම කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණය (1/R)x(2∏R) = 2∏ වේ. ඒ කියන්නේ යම් ලක්ෂ්‍යයක් වටා පවතින මුලු කෝණය රේඩියන්වලින් 2∏ වේ.

අංශක හා රේඩියන් ලෙස ඒකක දෙකක් දැන් තිබෙනවා කෝණ මැනීමට. ඉතිං යම් ඒකකයකින් දී ඇති අගයක් අනෙක් ඒකකයට හැරවීමට හැකි විය යුතුය. එනම් අංශක හා රේඩියන් යන ඒකක දෙක අතර යම් ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් ගොඩනඟා ගත යුතුය. එය මෙසේ කළ හැකියි.

යම් වෘත්තයක පරිධිය විසින් කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන මුලු කෝණය අර්ථ දැක්වීමෙන්ම අංශක 360ක්නෙ. එලෙසම රේඩියන්වලින් මැන්න විට එම කෝණය 2∏ වේ.

අංශක 360 = රේඩියන් 2∏ හෙවත් රේඩියන් ∏ = අංශක 180

දැන් අපට පුලුවන් රේඩියන්වලින් දී ඇති කෝණයක් අංශකවලට හැරවීමටත්, අංශකවලින් දී ඇති කෝණයක් රේඩියන්වලට හැරවීමටත් ඉහත සරල සූත්‍රය යොදාගෙන. උදාහරණයක් ලෙස අංශක 60 රේඩියන්වලින් කොපමණද?

රේඩියන් 3 අංශකවලින් කොපමණද?

 

trigonometry ...